篮球、排球、足球、乒乓球、球、台球和高尔夫球等球类运动是参与人数众多、深受欢迎的体育运动，运动的普及和提高关乎全民的身体素质，也关系到国家的荣誉.在提高运动水平方面，除去要有广泛的大众基础外，基础研究和由此产生的创新也是十分重要的.
笔者对球类运动物理的兴趣是从一个具体问题开始的，即假设足球守门员大力开球，一样的角度和初速度，表面光滑的球和表面粗糙的相比，哪个飞得更远？笔者和被问到的大多数人一样，基于直觉，认为飞行时光滑球所受空气阻力较小，选择了前者，惋惜回答是毛病的.少数人认为问题必含玄机，选择了后者，但也说不出缘由.笔者为找寻问题的解答，在浏览相干书籍和文献的进程中，逐步涉及到其他的球类，本文集中在球的飞行和转动方面，选择了读书所得的几个片断和大家分享，文章就从上面的问题开始.
图1足球运动员在大力开球
1表面光滑的球和表面粗糙的相比，哪个飞得更远
对球类飞行动力学的研究，开始得较早、工作也较多的是对高尔夫球所做的研究,早在年，著名物理学家omson就发表了这方面的研究论文，相继的研究工作致使了为让球飞得更远，在球的表面上采取了布满小凹痕（dimple）的设计,事实上一个表面光滑的球，职业选手击出后的飞行距离，大约只是布满凹痕球的一半.回到我们接触较多的足球，按比赛规则要求，球的外壳必须是用皮块并通过预先穿好的针眼缝合在一起的,针眼总数约个，缝线凹槽深度约mm，球面上的这些缝线凹槽一样对球的飞行有重要影响.守门员大力开球，将球踢到对方半场是很平常的事，但是如果用光滑球，没有缝线凹槽的功劳，恐怕就不太容易做到了,粗糙的表面可下降空气阻力的道理触及“边界层”的概念.
对空气、水和油等具有黏性的实际流体，描写其动力学行动的是Navier-Stokes方程（简写为N-S方程），针对具体的问题，给出相应的初条件和边条件，原则上可得到解答.由于这是一组非线性的二阶偏微分方程组，且具体问题的边条件常常又十分复杂，仅在少数特定情况下才可解,利用沉降的小球丈量油的黏性系数η是我们熟习的例子，这是雷诺数Re1的极端情形，Re=ρvd/η，其中ρ是流体的密度，v是流速，d是物体相干的特点长度，这里是球的直径.很小的雷诺数意味着面对的问题属黏性显著占优势的情形：或流体有很高的黏性系数，或对平常流体当问题触及的尺度很小的时候，此时N-S方程因惯性力项可全部略去而可解，在小球沉降情形，得到的是我们熟习的描写小球所受阻力大小的Stokes方程.
在球类运动中，触及的流体是空气，如果将水的黏性系数定为1，重机油的约为60，而空气的则是1/60，属低黏性流体，相应的雷诺数很大，约在的量级.在大雷诺数情形，对N-S方程的求解是十分困难的课题：如果因黏性系数小而将方程中相应项完全略去，相当于将流体视为无黏性的理想流体，方程可解，但得到的结果常常与实验观测不符；如不略去黏性力项，方程又难于求解.年，德国科学家普朗特（andtl）引入“边界层”的概念，解决了这1困难，是近代流体力学的重大发展之一.
边界层理论的基本想法是，在黏性系数很小的情形，可将全部流场分做两部份处理，黏性只表现在附着于物体表面上的边界层内；从表面向外，边界层中气流的速度从零逐步加大到与外部气体流速相同，不同速度层间存在磨擦消耗.对边界层之外的流体，则完全略去黏性力的影响，用理想流体的理论处理，并将得到的解作为边界层外缘的边条件，这样全部问题可得到解决.边界层的厚度δ约等于d/Re1/2，其中d为球的直径.对足球，取R为，δ~1mm，这和足球表面的缝线槽深相近，可以预期，缝线槽的存在会对球的空气动力学有重要的影响.
图2(a)给出了在完全略去空气的黏性并将其视为理想流体时球周围流线的截面图.这里为简单起见，将流线直观地理解为1小块空气所走的路径.准确地讲，在这类意义下得到的是流体的迹线，表达同一时刻空间各点流速的方向的流线和迹线，仅在定常流动（steadyflow）即活动情况不随时间改变时才是相同的.对图中i,j两条平行等距的相邻流线，在接近球体A点（流体力学中习惯称之为驻点）时，间距开始缩小，在B点处间距最小，其后逐步加大，恢复到平行等距.在定常流动情形，单位时间流过相邻流线间任一截面的流体质量总是相等的，由此可以知道，从接近球的前端A点到球的顶端B点，或底部D点，气流是加速的，气流进而向C点活动，此时是减速的.依照我们熟习的伯努利(rnoulli)定理，A,C两点处气体压强要比B,D两点高，但是从对称性的斟酌，在气流中的球体感受到的净压强为零，没有阻力作用在球上.
图2球体周围的流线（a）理想流体情形；（b）有边界层存在的情形
图2(b)是球体表面有边界层存在的情形，在图中边界层用虚线画出.从A到B，和图2(a)一样，边界层和外部气流都是加速的，虽然边界层中存在黏性磨擦致使的能量消耗，倾向于使层内的流体减速，但由于A点压强高于B点，在压强差的推动下，边界层气流会沿球面前进.从B到C情况则不同，此时压强是增加的，边界层失去了推动力，没法到达C点，而是在S点（流体力学中称之为分离点）处和球面分离.分离后的气流是不规则的，构成处于湍流状态的尾流.气流速度进一步增加，边界层中磨擦消耗更大，边界层和球面的分离产生得更早，因此有更宽的尾流.
上述边界层和球面产生分离，存在尾流的状态，是球在飞行中所受阻力的主要来源，由于此时球前后端之间存在压强差，A点附近气体的压强要大于分离点间的压强，气流在活动方向上对球有作用力，流体力学称之为压强阻力或形状阻力.另外，边界层内的黏性磨擦也会致使能量的损失，产生摩擦阻力，这两种力合在一起构成对球运动的总阻力.
球体所受空气阻力比例于速度v的平方变化，一般写为：
Fd=(1/2)CdρAv2.
图3给出了表面光滑度不同的球的空气阻力系数Cd随雷诺数Re的变化曲线.可以看到，不论对哪一种光滑度的球，在球速超过相应的临界雷诺数或临界速度后，空气阻力系数急剧下落，缘由是此时边界层失稳，层外流速快的气流和接近球面速度较慢的气流混合，推动他们流向球的后端，致使分离点S相互接近，尾流变窄，A,C点之间压差下降，空气阻力下落.这样本节提出的问题的答案是，表面粗糙的球临界雷诺数或临界速度较低，缘由是粗糙的表面有助于边界层和外部气流的混合，这正是高尔夫球表面凹痕和足球表面缝线凹槽所起的作用.固然从图3看，即便对表面粗糙的球，在速度（比例于雷诺数）高到一定程度后，空气阻力系数会超过表面光滑的球，粗糙的表面还是使空气阻力系数增加的，情况会有所不同.
图3表面光滑度不同的球空气阻力系数随雷诺数的变化（图中Type4为光滑球，Type1,2,3的k/d值分别为12.5x,5.0x和1.5x，其中k为粗糙物的高度，d为球的直径.图上边标出的是排球速度为10m/s和15m/s的相应位置）
2弧线球和弧圈球
足球运动员在罚直接任意球或角球时踢出的弧线球（也常称为香蕉球），在空中划出美好的曲线，绕过人墙飞入球门，使人叹为观止.从力学原理知道，球的转向一定是遭到侧向力的结果；从运动员踢弧线球的脚法，我们可以推断，这类力一定和球的旋转有关.
图4给出了球顺时针旋转时周围流线散布的示意.为简单起见，未将边界层画出.从A到B,和上节所述相同，边界层不会脱离球面.但从B到C,虽然此时流体失去了压强差的推动，边界层终究会和球表面分离，但由于球的转动，球表面运动方向和气流速度方向一致，会带动着黏附于其上的边界层运动，边界层与球面的分离会推后产生.在球的下方，球表面运动方向和外部气流方向相反，表面层与球面的分离会提早，分离点向D点移动.这样，在球转动时，流线和分离点的位置过渡到非对称的情势，气流也因此在经过球后产生了转向.
图4旋转球体周围的流线
对图4给出的情形，不难判断侧向力作用的方向.气流在经过旋转的球后，附加了一个向下的动量，由于体系总动量是守恒的，那末球应当感受到一个升力，得到一样大小的向上的动量，飞行轨道因此会产生曲折.这1现象最早由德国物理学家gnus在年通过在流体中旋转圆柱体受力的实验观察到，通常称为马格纳斯效应，并将相应的侧向力称为马格纳斯力.直到20世纪初，边界层和流体与表面分离的概念建立后，人们对这类力产生的缘由才有了正确的了解.
马格纳斯力的大小比例于气流的速度.和球的旋转频率f，固然也和球的大小有关，一样的旋转频率，直径大的球周向速度大.知道了空气阻力和马格纳斯力的表达式，便可计算球的飞行轨道，例如，可以知道在罚直接任意球时，球要有怎样的旋转才能绕过人墙.
在乒乓球运动中，弧圈球是运动员广为采取的技术之一，正手拉加转弧圈球和前冲弧圈球都是强烈上旋的，球上端的周向速度与气流速度相反，马格纳斯力与图4情形不同，是向下的，球的飞行弧线因此下降，且在着台后会急剧前冲下滑，很有威力.
3飘球
在排球运动中，发球可以直接得分或破坏对方的1传，是唯一不受他人制约的技术，历来遭到重视.发飘球的技术兴起于上世纪60年代，包括上手飘球、勾手飘球和后来发展起来的跳发飘球，由于球飞行轨迹特有的不确定性，忽左忽右，或上飘或下沉，接球方难以应付，成为重要的发球技术，其机理也为人们所
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